最近知った言葉:半順序集合

半順序集合という数学用語を知った。

順序集合 - Wikipedia

たとえば整数のようにすべての元の間に順序のある集合のスーパーセットの概念で、比較不可能な元も許容する集合のことらしい。

具体例が面白い。

一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、(2つ以上元を含む)集合の冪集合において、包含関係を順序とみなしたものがある。例えば2元集合 S = {a, b} において {a} と {b} はいずれも他方を包含していないので S の冪集合は全順序ではない。(引用: 順序集合 - Wikipedia

数学っぽくない例もある。

実生活に近い例では、「AさんはBさんの子孫である」という事を「A<B」という大小関係とみなす事で人間全体の集合を半順序集合とみなせる。AさんとBさんはどちらも他方の子孫でない事もありうる(兄弟同士、叔父と甥、赤の他人等)ので、この順序集合は全順序ではない。 (引用: 順序集合 - Wikipedia

こう見ると、有向グラフでかけるものだったら順序集合といえそうな気がしてきた。しかしそうではなくて、例えばじゃんけんなどの三つ巴のように循環しているようなものは順序集合ではない。

なんで半順序集合に出会ったかというと、『Basic Category Theory for Computer Scientists』という圏論の本で、すべての半順序集合の集合の圏 Poset が圏の例としてでてきたからだ。

Amazon.co.jp: Basic Category Theory for Computer Scientists (Foundations of Computing) (English Edition) 電子書籍: Benjamin C. Pierce: Kindleストア

Poset 以降の例は、代数学の知識が必要なので自分には難しい。